Elazığ'da doğan Mehmet Boztepe, ailesiyle birlikte çocuk yaşta Almanya'ya gitti. Burada futbola başlayan Boztepe, gösterdiği yüksek performanslarla Almanya'daki birçok takımın ilgisini üzerine çekti. 2007 yılında Borussia Dortmund'un ara A2 takımı olan ve üçüncü ligde oynayan Borussia Dortmund II'ye transfer oldu.
2011-2012 sezonunda ise Mehmet Boztepe için Süper Lig yolu gözüktü. Süper Lig ekiplerinden Eskişehirspor'a transfer olan Boztepe, sadece bir lig maçında kadroya alınması üzerine takımdan ayrıldı. Daha sonra Hollanda ekibi Emmen, Wuppertaler SV ve SSVg Velbert'te oynayan oyuncu, 2013-14 sezonu ile Türkiye'ye yeniden geldi.
1. Lig ekibi Adanaspor'a transfer olan Boztepe, 2015-2016 sezonunu Bandırmaspor'da geçirdi. Bu sırada takımını 8 golle sırtlayan başarılı orta saha oyuncusu, Bandırmaspor'un üst lige çıkmasında da büyük paya sahip olarak, Bandırmaspor'da en fazla golü atan oyuncu oldu.
Şimdilerde Balıkesirspor formasını terleten Boztepe, bir çok kez Almanya Ümit Milli Takımı'ndan teklif aldı. Bu tekliflere sıcak bakmayan yetenekli oyuncu, hedefi olan ay-yıldızlı formayı giymek için çabalamaya devam ediyor.
Her iki ayağını da kullanan Boztepe ayrıca Türkiye U-19, U-20 ve U-21 formalarını da giydi.
Balıkesirspor'un yeni Teknik Direktörü Can Cangök ile sezon başından bu yana gösteremediği performansına kavuştuğunu belirten Mehmet Boztepe, hedeflerinden bahsetti.
İlk hedefinin TFF 1. Lig'de şampiyonluk olduğunu açıklayan Boztepe, "Şu anda Balıkesirspor formasını gurur ile giyiyorum. Yeni hocam Can Cangök ile yeniden kendimi buldum diyebilirim. Hedefim Balıkesirspor ile şampiyonluk sevincini yaşayarak, Süper Lig'e adım atmak. Yaşım 28 ama ay-yıldızlı formayı kendime hedef koydum. Almanya Ümit Milli Takımı teklif verdi fakat içimdeki sesi dinleyerek, kendimi ait olduğum yerde görmek istedim. Süper Lig'e çıktığımızda inşallah şu an sergilediğim performansın da üstüne çıkacağım. İşte o zaman inşallah Fatih hoca beni fark edecek" dedi.
Öte yandan Süper Lig'de bulunan 4 takımın Mehmet Boztepe'yi devre arasında transfer etmek için harekete geçtiği iddia edildi.
